Forza statica e dinamica

Pubblicato il da Fabbro Massimo
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Con questo articolo vorrei mettere in evidenza le relazioni tra una forza statica e dinamica. Vorrei farlo con una dimostrazione matematica che fece il professore durante il corso di Dinamica delle Strutture. La dimostrazione mi ha sempre affascinato, credo per la sua eleganza e semplicità, ma soprattutto per il suo significato ingegneristico che, più d’una volta, mi ha aiutato durante l’attività professionale.

PREMESSA

L’obiettivo è quello di calcolare lo spostamento di un oscillatore forzato soggetto ad una forzante impulsiva e trovare la relazione con una forza equivalente, ma applicata in modo statico. In questo modo, se una forza viene applicata ad una struttura un modo dinamico, si può calcolare lo spostamento massimo che subirà la struttura, fornendo così un valore di predimensionamento che può essere un’ottima base per eseguire successivamente calcoli più raffinati.

Si pensi per esempio ad un paranco che solleva e sposta pesi per una fabbrica. Potrebbe nascere l’esigenza da parte della committenza di spostare dei pesi con massa nota. Sarebbe scorretto però trattare tali carichi in modo statico perchè probabilmente l’operatore dovrà spostare il peso molto velocemente durante la produzione; d’altra parte ricorrere ad un’analisi dinamica al posto delle classiche formule di Scienza delle Costruzione potrebbe essere troppo oneroso. Ecco quindi che conoscere un valore massimo di spostamento potrebbe essere d’aiuto.

DIMOSTRAZIONE

Si parte dalla classica equazione del moto con forzante esterna

m\ddot{x(t)}+b\dot{x(t)}+kx=F_g(t)

con le condizioni al contorno imponendo che il corpo sia in quiete iniziale

x(t)=\dot{x(t)}=0 per t<0

e per t>0 con l’equazione del moto che è

m\ddot{x(t)}+b\dot{x(t)}+kx=F_0

Assumendo a questo punto b piccolo un modo che la soluzione sia un moto oscillatorio, secondo la teoria classica, la soluzione si può scrivere nella seguente forma

x(t)=x_0(t)+x_p(t)

x(t)=e^{-\nu \omega t}(A cos( \omega t)+B sen( \omega t) + {\frac{F_0}{K}}

con

\frac{F_0}{K}=x_p(t)

soluzione particolare.

Imponendo le condizioni iniziali esposte in precedenza di ottiene la seguente soluzione

x(t)=\frac{F_0}{K} [1-e^{-\nu\omega t}(cos(\omega t)+{\nu}sen(\omega t))]

Nel caso un cui \nu = 0 la soluzione si può scrivere

x_g(t)=\frac{F_0}{K}[1-cos(\omega t)]

Osservando che \frac{F_0}{K}=x_{st} rappresenta lo spostamento in condizioni statiche del sistema, si può notare, dall’ultima espressione, che, al massimo, lo spostamento dinamico vale il doppio dello spostamento statico, quando appunto il coseno vale -1. Peraltro, alla stessa soluzione si poteva pervenire a partire dall’equazione di moto considerando nullo lo smorzamento.

Questo significa, nella pratica, che se si applica la stessa forza in modo impulsivo si ottiene al massimo il doppio dello spostamento della stessa forza applicata in modo statico. Carino no?

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Fabbro Massimo

Si occupa prevalentemente di appalti pubblici, gestione del patrimonio di proprietà di un ente pubblico e della sua manutenzione. E’ appassionato di nuove tecnologie.